SymPy:使用 Python 幫你導煩人的數學公式(五)

微分方程(Differential Equations)

>>> from sympy import Function, Symbol, dsolve
>>> f = Function('f')
>>> x = Symbol('x')
>>> f(x).diff(x, x) + f(x)
        2
       d
f(x) + ---(f(x))
         2
       dx

>>> dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
f(x) = C1*sin(x) + C2*cos(x)



代數方程式(Algebraic Equations)

>>> from sympy import solve, symbols
>>> x, y = symbols('x,y')
>>> solve(x**4 - 1, x)
[-1, 1, -I, I]

>>> solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])
{x: -3, y: 1}


線性代數(Linear Algebra)

建立矩陣可以使用 Matrix 類別:

>>> from sympy import Matrix, Symbol
>>> Matrix([[1, 0], [0, 1]])
[1  0]
[    ]
[0  1]


矩陣中亦可包含 Symbol:

>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
>>> A = Matrix([[1, x], [y, 1]])
>>> A
[1  x]
[    ]
[y  1]

>>> A**2
[x*y + 1    2*x  ]
[                ]
[  2*y    x*y + 1]


Pattern Matching

使用 .match() 方法並配合 Wild 類別可以對 Symbol 進行比對,例如抓取某一項的係數等,這個方法會傳回一個 dictionary,例如:

>>> from sympy import Symbol, Wild
>>> x = Symbol('x')
>>> p = Wild('p')
>>> (5*x**2).match(p*x**2)
{p: 5}

>>> q = Wild('q')
>>> (x**2).match(p*x**q)
{p: 1, q: 2}


如果沒有找到指定的 pattern,則會傳回 None:

>>> print (x + 1).match(p**x)
None


亦可使用 Wild 的 exclude 參數排除指定的比對結果:

>>> p = Wild('p', exclude=[1, x])
>>> print (x + 1).match(x + p) # 1 is excluded
None
>>> print (x + 1).match(p + 1) # x is excluded
None
>>> print (x + 1).match(x + 2 + p) # -1 is not excluded
{p_: -1}


輸出顯示(Printing)

SymPy 的運算結果可以用好幾種不同的方式輸出,一般預設的方式是使用 str(expression) 的方式,例如:

>>> from sympy import Integral
>>> from sympy.abc import x
>>> print x**2
x**2
>>> print 1/x
1/x
>>> print Integral(x**2, x)
Integral(x**2, x)


而 pprint() 函數(pretty printing)可以將結果以 ascii-art 的方式「畫」出來,例如:

>>> from sympy import Integral, pprint
>>> from sympy.abc import x
>>> pprint(x**2)
 2
x
>>> pprint(1/x)
1
-
x
>>> pprint(Integral(x**2, x))
  /
 |
 |  2
 | x  dx
 |
/


若您的系統有安裝 unicode 字型,則 pprint() 函數預設就會使用它,亦可使用 use_unicode 參數自行設定。

>>> pprint(Integral(x**2, x), use_unicode=True)

⎮  2
⎮ x  dx


下面示範將 pprint() 設定為預設的輸出函數:

$ python
Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)
[GCC 4.3.1] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from sympy import init_printing, var, Integral
>>> init_printing(use_unicode=False, wrap_line=False, no_global=True)
>>> var("x")
x
>>> x**3/3
 3
x
--
3
>>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE
  /
 |
 |  2
 | x  dx
 |
/


使用 Python 輸出:

>>> from sympy.printing.python import python
>>> from sympy import Integral
>>> from sympy.abc import x
>>> print python(x**2)
x = Symbol('x')
e = x**2
>>> print python(1/x)
x = Symbol('x')
e = 1/x
>>> print python(Integral(x**2, x))
x = Symbol('x')
e = Integral(x**2, x)


使用 LaTeX 輸出:

>>> from sympy import Integral, latex
>>> from sympy.abc import x
>>> latex(x**2)
x^{2}
>>> latex(x**2, mode='inline')
$x^{2}$
>>> latex(x**2, mode='equation')
\begin{equation}x^{2}\end{equation}
>>> latex(x**2, mode='equation*')
\begin{equation*}x^{2}\end{equation*}
>>> latex(1/x)
\frac{1}{x}
>>> latex(Integral(x**2, x))
\int x^{2}\, dx


使用 MathML 輸出:

>>> from sympy.printing.mathml import mathml
>>> from sympy import Integral, latex
>>> from sympy.abc import x
>>> print mathml(x**2)
x2
>>> print mathml(1/x)
x-1


使用 Pyglet:

>>> from sympy import Integral, preview
>>> from sympy.abc import x
>>> preview(Integral(x**2, x))


如果系統上有安裝 pyglet 的話,就會跳出這個視窗:



參考資料:
http://docs.sympy.org/dev/index.html
http://docs.scipy.org/doc/numpy/user/
http://www.linuxjournal.com/content/symbolic-math-python
http://blog.ez2learn.com/2009/08/25/sympy/
http://www.360doc.com/content/12/0930/10/9369336_238871552.shtml

繼續閱讀:
SymPy -- 使用 Python 幫你導煩人的數學公式(一)
SymPy -- 使用 Python 幫你導煩人的數學公式(二)
SymPy -- 使用 Python 幫你導煩人的數學公式(三)
SymPy -- 使用 Python 幫你導煩人的數學公式(四)
SymPy -- 使用 Python 幫你導煩人的數學公式(五)
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